Draf Eksponen sudah tidak asing lagi di telinga siswa. Salah satu rumus yang diajarkan dalam bidang matematika memiliki sifat eksponensial bermacam-macam. Untuk mengetahuinya, artikel ini akan membahas segala hal tentang eksponen.
Apakah Anda tahu kapan eksponen dikenal? Metode ini pertama kali ditemukan oleh Euclid, seorang ahli matematika dari Yunani yang dikenal sebagai Bapak Geometri. Penggunaannya secara modern pertama kali dilakukan oleh Michael Stifel pada tahun 1544.
Angka eksponensial menjadi satu metode dipilih oleh banyak peneliti atau matematikawan. Terutama ketika menulis banyak 0, serta banyak desimal setelah 0. Angka-angka ini juga sering digunakan dalam bidang ekonomi dan ilmu komputer.
Memahami Eksponen
Secara sederhana, eksponensial didefinisikan sebagai metode perkalian dengan bilangan yang sama dan berulang. Singkatnya, dapat dikatakan bahwa eksponen adalah perkalian berulang, sedangkan jika dilihat dari segi bentuknya adalah an. di mana a disebut basis dan n adalah eksponen atau pangkat.
Dalam kamus Eksponen KBBI terdapat kata-kata yang tergolong homonim. Ini karena mereka memiliki ejaan dan pengucapan yang sama, tetapi memiliki arti yang berbeda. Berikut pengertian eksponensial dalam kamus KBBI:
- Eksponen didefinisikan sebagai orang yang menjelaskan atau menafsirkan teori. Dimana teori tersebut mewakili dan merupakan contoh dari teori tersebut.
- Eksponen juga diartikan sebagai orang atau tokoh terkemuka dalam suatu gerakan atau bidang kehidupan.
- Eksponen adalah angka yang ditulis di kanan atas angka lain. Angka menunjukkan peringkat angka, misalnya 2^3 yang dibaca dua pangkat 3.
Pengertian eksponensial adalah cara singkat menulis perkalian secara berulang-ulang. Selain itu, rumus ini memiliki bentuk umum.
Properti Eksponensial Dengan Contoh
Eksponen ditulis dalam bentuk a^n atau an= a×a×a×……..a. Namun, jika eksponen digunakan dalam operasi aritmatika, propertinya akan berubah. Berikut ini adalah sifat-sifat eksponen beserta contohnya.
1. Jumlahkan
Pangkat penjumlahan dilakukan jika dalam suatu rumus perkalian memiliki basis yang sama. Agar eksponen ditambahkan, rumusnya ditulis sebagai berikut:
AM xaN = a m + n
contoh pertanyaan : 32 x 33 = 32+3 = 35 =243
2. Pengurangan
Sedangkan pangkat pengurangan berlaku untuk rumus pembagian. Peringkat berkurang jika divisi memiliki basis yang sama. Maka rumusnya akan ditulis sebagai berikut.
AM : AN = aM N
contoh soal :
45 : 43 = 45-3= 42 =16
3. Perkalian
Perkalian pangkat adalah salah satu sifat eksponen yang berlaku untuk bilangan yang dipangkatkan. Jadi pangkatnya kemudian dikalikan. Maka rumusnya adalah sebagai berikut.
(AM)N = am × n
Contoh soal :
(32)2 = 32×2 = 34 = 81
4. Perkalian pada Angka Terangkat
Rumus ini terjadi ketika ada perkalian yang dipangkatkan. Sehingga setiap angka dalam perkalian dipangkatkan. maka rumusnya adalah sebagai berikut.
(a .b)M = aM . BM
Contoh soal :
(2×4)2 = 22 x 32 = 4×14 = 56
5. Peringkat untuk Angka Pecahan
Pada bilangan pecahan yang dipangkatkan, pembilang dan penyebutnya harus dipangkatkan semua dengan syarat b ≠ 0. Agar penyebutnya tidak bisa = 0, maka rumusnya adalah sebagai berikut.
ab M = ambm , b bukan 0
Contoh soal :
653 = 6353 = 216215
6. Formula Daya Negatif
Formula ini digunakan di sifat eksponensial yang memiliki kekuatan negatif. Dimana cara menghitung nilai eksponensial 1 per pangkat eksponensial yang menjadi positif. Rumusnya adalah sebagai berikut.a – N = 1s
Contoh soal :
3 – 3 = 133 = 127
7. Peringkat dalam Pecahan
Jika ada pangkat di-root, maka pangkat dari root menjadi penyebut pangkat dari bilangan tersebut. Maka rumusnya adalah sebagai berikut..
nam = amn
Contoh soal :
234 = 342 =32 = 9
8. Angka dengan pangkat nol (0)
Bilangan dengan pangkat nol maka hasilnya adalah 1 berapapun bilangan dasarnya. Rumus ini valid asalkan bilangan dasarnya bukan 0 atau a ≠ 0. Berikut cara penulisannya. A0 = 1a ≠ 0
Contoh soal :
30 = 1
50 = 1
90 = 1
Persamaan Eksponensial Sederhana
Persamaan eksponensial adalah bentuk persamaan yang di dalamnya terdapat fungsi eksponensial. Bentuk persamaan ini memiliki berbagai macam rumus. Untuk mengetahuinya, berikut beberapa persamaan eksponen.
1. Formula Pertama
Jika sebuahf(x) = 1, jadi f(x) = 0 Rumus ini dapat dicontohkan dengan soal berikut:
24x-8 = 1
4x – 8 = 0
4x = 8
X = 8/4
X = 2
Sehingga solusinya dapat ditemukan bahwa x = 2
2. Formula Kedua
Af(x) = aps , a ≠ 0 jadi f(x) = p . Berikut ini adalah contoh masalah dengan rumus ini.
42x-4= 32
2x – 4 = 2
2x = 2 + 4
2x = 6
X = 6/2
X = 3
Jadi solusi untuk x adalah 3.
3. Formula Ketiga
Jika sebuahf(x) = ag(x) , sedangkan a ≠ 0, sehingga f(x) = g(x) , berikut adalah contoh soal dengan rumus ini.
32x-8 = 33x-6
2x – 8 = 3x – 6
2x – 3x = -6 + 8
X = -2
Sehingga penyelesaian soal x adalah -2.
4. Formula Keempat
Rumus selanjutnya berbentuk af(x) = bf(x) , asalkan a, b ≠ 1 jika tidak a ≠ b. Agar f(x)= 0, berikut adalah contoh rumus di atas.
32x-4 = 22x-4
2x – 4 = 0
2x = 4
X = 2
Maka nilai x adalah 2 pada soal di atas.
5. Formula Kelima
Jika A(af(x))2 + B(af(x)) + C = 0 , jadi untuk melengkapi rumusnya, contohnya adalah p = af(x). Contohnya dapat dilihat pada soal di bawah ini.
2x-3 . 2x+2 = 0
(2X)2 – 3 . 2X +2 = 0
Jika p = 2X lalu hal2 – 3p + 2 = 0 jadi (p – 2 )(p – 1)
P = 2 atau P = 1
2X = 2
X = 1
Maka kita dapatkan solusi x adalah 1.
6. Formula Keenam
Jika f(x)g(x) = f(x)b(x) Jadi ada 4 kemungkinan untuk persamaan ini:
g(x) = b(x)
f(x) = 1
Terbalik dari Eksponen
Jika sebelumnya dibahas sifat eksponensial, maka Anda juga perlu mengetahui invers dari eksponen. Apa yang dimaksud dengan invers dalam eksponen? Invers didefinisikan sebagai kebalikannya, misalnya jika ada fungsi y= f(x) maka inversnya adalah y= f(x) dan f(x) = f-1(y) mengikuti cara yang digunakan.
Cara Menentukan Rumus Invers
Untuk mengetahui rumus invers eksponen, caranya adalah dengan mengubah bentuk y = f(x) menjadi x = f(y). Maka x adalah f-1(y) lalu f-1(y) = f(y), lalu ubah variabel y menjadi x sehingga rumus fungsi inversnya adalah f-1(x).
Contoh soal :
Untuk mengetahui bentuk rumus invers eksponen, berikut adalah contoh soal yang dapat Anda perhatikan. Pada pertanyaan pertama dan kedua, ubah formulir logaritma menjadi invers, sedangkan pada soal ketiga dan keempat ubah bentuk invers menjadi logaritma.^3Log81=4
- 9 = ^3logx
- (1/3)^x = 7
- 8 = 3X
Penyelesaian :
Berikut adalah solusi dari contoh soal di atas:
- logaritma 81 pada bilangan pokok 3 maka hasilnya adalah 4, maka jika 34 hasilnya 81, sehingga bentuk penyelesaiannya ditulis sebagai berikut 34=81
- Bentuk persamaan dari 3=^3Logx sama dengan 33 = x
- Dalam soal 3 persamaan 1/3logx = 7 memiliki ekuivalen ke-i ^1/3log7 = x
- Persamaan 8 = 3X setara dengan 3log8 = x
Aplikasi Properti Eksponensial dalam hidup
Apakah kamu tahu? itu ciri Eksponen yang dipelajari di SMA sangat bermanfaat dalam membantu memecahkan masalah di berbagai bidang. Sehingga salah satu materi tersebut sangat penting untuk Anda pelajari. Berikut adalah beberapa contoh penggunaan eksponen.
1. Biologi
Dalam bidang biologi, eksponen sering digunakan untuk menghitung pertumbuhan bakteri. Sebagai contoh, inilah contoh kasusnya:
Amoeba dapat tumbuh dengan cepat dengan membelah diri, sehingga dalam waktu tertentu jumlahnya akan terus bertambah. Maka rumus eksponensial yang digunakan adalah AT = A0 x(2)T. A0 = 40 pukul 09.00. Berapa banyak amuba yang ada pada pukul 09.08.
Resolusi:
A0 = jumlah amoeba
t = panjang pengamatan
AT = A0 x(2)T
AT = 100 x (2)8
AT = 100 x 256
AT = 25.600
Sehingga dalam waktu 8 menit jumlah amoeba menjadi 25.600
2. Ekonomi
Rumus eksponensial juga diterapkan dalam ekonomi. Umumnya digunakan di perbankan untuk menghitung bunga majemuk. Berikut adalah salah satu contoh kasus penerapan eksponensial.
Jika Anda berencana untuk meningkatkan Rp. 10.000.000 dalam 10 tahun ke depan. Berapa banyak uang yang harus Anda tabung setiap tahun jika bunga majemuk per tahun adalah 24%? Inilah solusinya.
Dalam menentukan penyelesaian harus menggunakan prinsip bunga majemuk yaitu y = p (1 +)mt dengan informasi berikut:
y : modal akhir
p : modal awal
r : ukuran bunga
m : banyak minat
t : waktu
10.000.000 = p(1 + 0,241)10
10.000.000 = (1,24)10
P = 10.000.0001,24 . 10
P = 10.000.00012.4
P = 806.451,61
Sehingga jumlah uang yang harus ditabung setiap tahunnya sekitar 806,45,61.
3. Sosial
Dalam bidang sosial, rumus eksponensial umumnya digunakan untuk menghitung pertumbuhan penduduk dalam kurun waktu tertentu. Berikut adalah contoh penerapan rumus eksponensial dalam bidang sosial:
Sebagai contoh, pada tahun 2014 suatu daerah berpenduduk sekitar 286.841 jiwa. Lalu berapa perkiraan jumlah penduduk Kabupaten ini pada tahun 2024, jika laju pertumbuhan penduduk eksponensial adalah 2,99%?
Dalam menyelesaikan kasus di atas dapat menggunakan rumus laju pertumbuhan penduduk yaitu : Pt = P0ert dengan deskripsi:
PT : Jumlah penduduk tahun 2024
P0 : populasi tahun 2014 (286.841)
t : peningkatan periode waktu
r : laju pertumbuhan penduduk
e : bilangan eksponensial ( 2.71828182)
solusi dari permasalahan diatas adalah sebagai berikut :
PT= P0ert
PT = 286.841 xe0,0299×10
PT = 286,841 x 1,34850962347291
PT = 386.807,
Sifat eksponensial Memiliki berbagai macam bentuk yang dapat Anda pelajari sebagai mata pelajaran di sekolah atau menerapkannya pada berbagai kebutuhan. Rumus ini dapat memudahkan Anda untuk menyederhanakan perkalian dengan kelipatan ganda.
Baca Juga Artikel Lainnya :