Kemajuan aritmatika merupakan mata pelajaran matematika yang mulai diajarkan di sekolah dasar hingga sekolah menengah atas. Matematika selalu menjadi mata pelajaran yang paling menakutkan bagi siswa sekolah karena berbagai alasan. Salah satunya karena sulit dipahami.
Pelajaran matematika menuntut kemampuan penalaran dan berhitung yang baik dari penggunanya. Namun dalam kehidupan sehari-hari kita tidak lepas dari matematika. Misalnya dalam berbelanja kebutuhan sehari-hari.
Tentu saja, Anda harus menggunakan penjumlahan dan pengurangan, termasuk konversi menjadi mata uang. Hal ini tidak dapat dipisahkan dari matematika. Nomor urut hanyalah salah satu contoh dari sekian banyak hal yang harus dipelajari dalam matematika.
Memahami perkembangan aritmatika
Sebelum masuk lebih jauh ke pembahasan dan rumus-rumus tentang barisan aritmetika, ada baiknya kita pahami terlebih dahulu pengertian penting deret ini dalam aritmatika. Sebuah contoh juga akan disertakan untuk lebih memahaminya.
Deret dalam aritmatika adalah barisan bilangan yang dibentuk oleh selisih suku-suku bilangan berurutan dan bilangan tetap. Sedangkan makna deret dapat digambarkan dari jumlah suku yang ada.
Ada perbedaan yang signifikan tetapi terkait antara deret aritmatika dan deret. Keduanya memiliki istilah yang berbeda. Namun, sangat erat kaitannya, terutama bila digunakan dalam pemecahan masalah. Untuk itu perlu diketahui lebih dalam mengenai hal ini.
Contoh Deret Aritmetika dan Penjumlahan
Penjelasan ini mungkin akan sulit dipahami oleh kebanyakan orang karena belum dijelaskan secara detail mengenai contoh barisan aritmatika. Selanjutnya kita akan membahas beberapa contoh yang bisa membuat anda lebih paham tentang hal ini.
Perhatikan deret angka berikut 1,3,5,7,9,11,13,15,… dst. Deret angka ini memiliki pola yaitu angka didepannya ditambah dengan angka 2. angka 1 dalam deret tersebut dapat disebut suku pertama. Angka 3 bisa disebut suku ke-2.
Begitu juga dengan tokoh-tokoh berikut. Anda bahkan bisa menghitung suku ke-100 menggunakan rumus atau rumus yang lebih cepat tanpa harus repot menghitung satu per satu dari suku pertama untuk mendapatkan suku ke-100. Ini disebut deret aritmatika.
Sedangkan perkembangan aritmatika adalah jumlah dari garis-garis ini. Misalnya, gunakan rangkaian di atas dan jumlahkan. S8 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64. Jumlah dari 8 deret bilangan tersebut adalah 64. Deret ini juga dapat dihitung dengan menggunakan rumus.
Anda juga dapat memperhatikan barisan aritmetika berikut 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, … dst. Jika diperhatikan deret adalah bilangan didepannya dikalikan dengan bilangan 3. Deret aritmatika adalah bukan hanya penjumlahan dan pengurangan.
Tetapi juga termasuk perkalian, bahkan gabungan dari semua pembagi, pengali, penjumlahan, pengurangan dalam matematika. Asalkan semua angka diulang sesuai dengan rumus yang ditentukan. Ini disebut deret aritmatika.
Sejarah Munculnya perkembangan aritmatika
Tidak ada sumber yang dapat menjelaskan dengan pasti bahwa barisan bilangan ini ditemukan oleh siapa. Namun, ada beberapa penjelasan tentang ahli matematika dan ilmuwan Jerman yang menemukan teori ini.
Carl Friedrich Gauss-lah yang diyakini telah mengembangkan teori ini sejak masih duduk di bangku sekolah dasar. Dia menemukan metode penghitungan ini untuk menjumlahkan bilangan bulat dari 1 hingga 100. Caranya adalah mengalikan n/2 pasangan.
Jika dijumlahkan, nilai setiap pasangan adalah n+1. Ada juga beberapa teori lain yang menyatakan bahwa penemu bilangan matematika ini adalah ilmuwan yang bahkan sudah ada sejak sebelum masehi.
Misalnya Pythagoras dan Archimedes dari Yunani yang terkenal dengan segitiga Pythagoras dan hukum fisika Archimedes. Selain itu, ada juga Zhang Qiujian dari Tiongkok dan Aryabratha, Brahmagupta yang berasal dari India. Maka dari itu teori tentang penemu rangkaian ini masih belum diketahui dengan pasti.
Cara Menghitung Menggunakan Rumus
Rumus deret dalam aritmatika dapat dilihat pada rumus berikut:
Sn = n/2 (a+Un) atau
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
Informasi :
Sn = jumlah n suku pertama
n = jumlah suku dalam barisan aritmatika
a = suku pertama deret aritmatika
b = berbeda
Dalam rumus ini, maka perkembangan aritmatika dapat disimbolkan sebagai Sn. Hal pertama yang harus dilakukan adalah membagi jumlah suku yang diinginkan dengan 2 (n/2). Kemudian lakukan perhitungan di dalam kurung.
Kurangi dulu banyaknya suku pada barisan aritmetika (n-1). Langkah selanjutnya adalah mengalikan hasilnya dengan selisih (b). Ingatlah aturan penjumlahan, pengurangan, dan pembagian bahwa apa yang ada di dalam tanda kurung didahulukan.
Kemudian kerjakan rumus perkalian dan pembagian untuk mendapatkan hasil yang tepat. Ingat aturannya lagi. Ada juga beberapa rumus lain yang bisa Anda gunakan, namun ini adalah rumus yang paling mudah.
Rumus ini akan membantu Anda menemukan suku ke-n (suku apa saja) dalam deret aritmetika yang ada. Anda bisa menyimak contoh soal berikut ini.
Contoh Soal 1
Jika kamu mengetahui barisan aritmatika 27, 24, 21, 18, … dst. Hitung jumlah 20 suku pertama. Maka jawabannya adalah sebagai berikut:
Diketahui bahwa: a = 27
b = U2-U1, dimana yaitu 24-27 = -3
Menjawab :
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S20 = 20/2(2 x 27) + (20 – 1) x (-3)
S20 = 10 x (54 + 19 x (-3))
S20 = 10 x (54 + 57)
S20 = 10 x (-3)
S20 = -30
Jadi, kesimpulannya, jika 20 suku pertama dari perkembangan aritmatika Jika ini ditambahkan bersama-sama, totalnya adalah -30.
Contoh Soal 2
Diketahui suku ke-8 barisan aritmetika tersebut adalah 20. Jumlah suku ke-2 dan ke-16 adalah 30. Maka suku ke-12 dari barisan aritmetika tersebut adalah…
Dikenal :
U8 = 20
U2 + U16 = 30
Menjawab:
Pertama anda bisa membuat persamaan terlebih dahulu
U8 = 20
U8 = a + 7b
Jadi,
U2 + U16 = 30
(a+b) + (a + 15b) = 30
2a + 16b = 30
Maka itu bisa dihilangkan:
a + 7b = 20 dikalikan 2
2a + 16b = 30
Jadi
2a + 14b = 40
2a + 16b = 30
Jadi, 2b = -10
b = -5
Selanjutnya, substitusikan salah satu persamaan di atas untuk mendapatkan nilai a
a + 7b = 20
a + 7(-5) = 20
a – 35 = 20
a = 55
Jadi, suku ke-12 dapat diperoleh dengan cara berikut:
U12 = 55 + (12-1)(-5)
U12 = 55 + 11(-5)
U12 = 55 – 55
U12 = 0
Kesimpulannya, suku ke-12 adalah 0 (nol).
Definisi dan Rumus Barisan Aritmatika
Sebenarnya perbedaan deret aritmetika dan barisan adalah jika perkembangan aritmatika adalah penjumlahan dari suku-suku, sedangkan barisan aritmatika adalah untuk mengetahui suku ke-… termasuk mengetahui suku yang tidak ditampilkan dalam deret tersebut.
Rumus barisan aritmatika ini adalah :
Un = a + (n-1)b
b = Un – Un-1
Informasi:
Un = suku ke-n
U1 = suku pertama barisan aritmatika
b = berbeda
n = suku ke-th
Contoh soal
Jika Anda tahu garis perkembangan aritmatika yaitu U1, U2, U3,…, 54, 58. Dari barisan tersebut diketahui suku tengahnya adalah 30 dan jumlah dari deret aritmetika penjumlahan tersebut adalah 45. Hitung banyaknya suku yang terdapat pada deret aritmatika di atas.
Soal ini sebenarnya merupakan gabungan dari barisan dan deret aritmetika. Keduanya tidak dapat dipisahkan untuk dapat menemukan jawaban atas pertanyaan yang diberikan. Namun, dalam hal ini tersedia informasi yang cukup untuk dapat menjawab pertanyaan tersebut.
Pertama temukan perbedaan dari soal-soal yang diberikan di atas. Metodenya adalah sebagai berikut:
b = Un – Un-1
b = 58 – 54
b = 4
selisihnya adalah 4. Setelah menemukan selisihnya, kamu bisa melanjutkan dengan mencari suku pertama barisan aritmatika tersebut. Metode tersebut dapat diketahui dari informasi jangka menengah. Suku pertama ini penting nantinya untuk mengetahui deret keseluruhan.
Ut = (a + Un) / 2
30 = (a + 58) / 2
30 = a/2 + 29
30 – 29 = a/2
1 = a/2
a = 2
Diketahui suku pertamanya adalah 2. Selanjutnya langkah terakhir adalah memasukan semua variabel tersebut ke dalam rumus deret aritmatika untuk menentukan suku-suku pada barisan aritmatika yang diberikan. Metodenya adalah sebagai berikut:
Sn = 1/2n (2a + (n-1)b)
450 = 1/2n ((2 x 2) + (n-1) 4)
450 = 1/2n (4+ 4n-4)
450 = 2n2
450/2 = n2
225 = n2
15 = n
Jadi, banyaknya suku pada barisan dan deret aritmetika tersebut adalah 15 suku. Anda dapat melihat dari perhitungan berikut:
S450 = 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58
Penggunaan Deret dan Barisan Aritmetika
Jangan berpikir bahwa mempelajari deret dan barisan aritmatika tidak akan berguna di kemudian hari. Beberapa kegunaan yang melekat dalam berbagai bidang kehidupan sehari-hari adalah:
1. Bidang Statistik
Anda yang bekerja di bidang statistik pasti sudah tidak asing lagi dengan angka dan urutan angka untuk proyeksi dan analisis terhadap hal-hal yang dipelajari. Untuk itu, serial ini sangat membantu pekerjaan beberapa orang yang ahli di bidang ini.
2. Bidang Ekonomi
Selain itu, penggunaan deret dan deret aritmatika sering digunakan oleh para perencana keuangan. Misalnya, seorang analis saham akan memprediksi saham yang dibelinya menguntungkan bagi klien. Kemudian dapat menggunakan proyeksi ini.
Mengetahui tentang deret dan barisan aritmatika akan mempengaruhi kemampuan Anda untuk dapat menjawab soal. Baik dalam hal ujian akhir, ujian sekolah, dan juga yang lainnya. Dengan mempelajari rumus yang diberikan anda akan dapat menguasai pembelajaran dengan baik.
Selain itu, perkembangan aritmatika juga sering membantu dalam kehidupan sehari-hari, misalnya jika Anda seorang manajer investasi atau bekerja di bidang statistik dan keuangan. Sehingga hal ini akan sangat membantu dalam melakukan berbagai analisis.
Baca Juga Artikel Lainnya :
